Question

设数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足：b_n=a_n-a_n+2，c_n=a_n+2a_n+1+3a_n+2（n=1，2，3，…），证明：{a_n}为等差数列的充分必要条件是{c_n}为等差数列且b_n≤b_n+1（n=1，2，3，…）。

Answer 1

解：必要性：设是公差为d₁的等差数列，则

所以）成立
又
（常数）（n=1，2，3，…），
所以数列为等差数列；
充分性：设数列是公差d₂的等差数列，且（n=1，2，3，…）
∵
∴
①-②得

∵
∴ ③
从而有 ④
④-③得 ⑤
∵
由⑤得
由此不妨设
则（常数）
由此
从而
两式相减得
因此
所以数列是等差数列。