题目内容
已知梯形
中，
∥
，
，
，
、
分别是
、
上的点，
∥，
，
是的中点.沿将梯形翻折，使平面
⊥平面
(如图) .
(Ⅰ) 当
时，求证：
⊥
；
(Ⅱ) 若以、
、
、
为顶点的三棱锥的体积记为 
，求的最大值；
(Ⅲ)当取得最大值时，求二面角
的余弦值.
解:（Ⅰ）（法一）作
于
，连
，
由平面
平面
知 
平面
而
平面，故
又四边形
为正方形
∴ 
又
，故
平面
而
平面
∴ 
. （或者直接利用三垂线定理得出结果）
（法二）∵ 平面平面 
∴ 
⊥面平面
∴ ⊥
, ⊥
,又⊥
故可如图建立空间坐标系
．
则
，
，
∴ 
∴ 
.
（Ⅱ） ∵ 
，面面
∴ 
面
又由（Ⅰ）平面 ∴ 
所以 
＝
即
时
有最大值为
．
（Ⅲ）（法一）作于，作
，连
由三垂线定理知
∴ 
是二面角
的平面角的补角
由
∽
，知 
而
，
∴ 
又
∴ 在
中，
因为∠是
锐角 ∴
∠＝
而∠是二面角的平面角的补角
故二面角的余弦值为－.
（法二）设平面
的法向量为
∵ 
,
，
，
∴ 
则
即
取 
则 
∴ 
面
的一个法向量为
则<
>
由于所求二面角的平面角为钝角，
所以，此二面角的余弦值为－
.
练习册系列答案
相关题目
中，
∥
，
，
， 
、
分别是
、
上的点，
∥
，
是
平面
(如图)。
时，求证：
；
，求
中
，
，
，
、
分别是
、
上的点，
，
．沿
将梯形
翻折，使平面
⊥平面
(如图)．
是
时，求证：
⊥
；
变化时，求三棱锥
体积的最大值． 
中，
∥
，
，
，
、
分别是
、
上的点，
∥
，
是
⊥平面
（如图）.
时，求证：
；
、
、
为顶点的三棱锥的体积记为
，求
的余弦值．
中，
∥
，
，
，
、
分别是
上的点，
∥
，
是
⊥平面
(如图) .
时，求证：
； 
为顶点的三棱锥的体积记为
，求
的余弦值.
中，
,
。求梯形的高．