Question

等差数列{a_n}中,a₁＜0,S₉=S₁₂,该数列前多少项的和最小?

Answer 1

思路分析：求等差数列的前n项和的最值问题,实际是找到数列{a_n}的转折项,于是可采用基本量法解关于的不等式,即可解决问题.另外,还可以从等差数列前n项和是关于n的二次函数,利用二次函数的知识解决该问题.

解法一:∵S₉=S₁₂,

∴9a₁+d=12a₁+d.

∴a₁=-10d.

    设该数列前n项的和最小,则有

    即

    解得10≤n≤11.∴取10或11时,S_n取最小值.

    解法二:∵S₉=S₁₂,

∴a₁₀+a₁₁+a₁₂=0.∴3a₁₁=0.∴a₁₁=0.

∵a₁＜0,∴前10项或前11项和最小.

    解法三:∵S₉=S₁₂,∴S_n的图象所在的抛物线的对称轴为x==10.5,又a₁＜0,∴{a_n}的前10项或前11项和最小.

    思维启示：解决等差数列前n项和最值问题的常用方法:

(1)基本量法:当a₁＞0,d＜0时,n为使a_n≥0成立的最大自然数(或n为同时满足a_n≥0且a_n+1≤0的自然数)时,S_n取得最大值;当a＜0,d＞0时,n为使a_n≤0成立的最大自然数(或n为同时满足a_n≤0且a_n+1≥0的自然数)时,S_n取得最小值.

(2)二次函数法:用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值,但要注意的是:n∈N^*.如若S_n=23n-3n²,则不是n=时S_n取得最大值,而是当n取与最接近的一个正整数4时,S_n取得最大值.

(3)图象法:利用二次函数图象的对称性来确定n的值,使S_n取得最值.