题目内容

【题目】已知直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点， 为中点， 的斜率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆的动弦，且其斜率为1，问椭圆上是否存在定点，使得直线的斜率满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）.（2）或满足题意.

【解析】试题分析：（1）由已知得，椭圆的半焦距，

设， ， ，由在椭圆上列出方程组，得到，

进而求得，再根据，解得的值，即可得到椭圆的方程；

（2）假设上存在定点满足题意，设直线方程为，联立方程组，得， ，由，代入化简得，又由它与无关，即可得椭圆上存在点或满足题意.

试题解析：

（1）由已知得，椭圆的半焦距，

设， ， ，则， ，又由在椭圆上得

，两式相减得，所以

，

而，所以

又，所以， ，

所以椭圆的方程为.

（2）假设上存在定点满足题意，并设直线方程为，

， ，联立，消得，则

， ，

由，得，将， ，代入并化简得

，

将， 代入并化简得，

由它与无关，只需，解得，或，

而这两点恰好在椭圆上，从而假设成立，

即在椭圆上存在点或满足题意.

练习册系列答案
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A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

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对于③，∵⊥， ⊥CD，且CD=D，∴⊥平面，即⊥平面正确；

对于④，，正确，

故选：A

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【结束】
8

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1

2

3

4

5

7.0

6.5

5.5

3.8

2.2

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参考数据及公式： ， ，

， .

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