Question

已知函数,.
(1)讨论在内和在内的零点情况.
(2)设是在内的一个零点,求在上的最值.
(3)证明对恒有.

Answer 1

(1)在内有唯一零点;在内无零点.(2) 在有最大值;在的最小值.(3)详见解析.

试题分析：(1)首先求导确定在、内的单调性，然后根据零点判定定理确定的零点情况； (2)求导得，所以 在有最大值,又是在内的一个零点，所以在的最大值为.再由(1)的结论知在的最小值应为.由知,于是在的最小值. (3)由(2)知时,有,即
 ，得，再将左右两边放缩相加即得.
(1)在有唯一零点,易知在单增而在
内单减,且,故在和内都至多有一个零点.
又,
故在内有唯一零点;
再由知在内无零点.
(2)由(1)知在有最大值,
故在有最大值;
再由(1)的结论知在的最小值应为.
由知,于是在的最小值.
(3)由(2)知时,有,即
                      ①
取,则且,将的值代入①中,可得

             ②
再由,得
                ③
相仿地,时,,故
            ④
而时④即,显然也成立.故原不等式成立.