Question

设f(x)＝ln(1＋x)－x－ax².
(1)当x＝1时，f(x)取到极值，求a的值；
(2)当a满足什么条件时，f(x)在区间[－，－]上有单调递增区间？

Answer 1

（1）a＝－   （2）a∈(－1，＋∞)．

解：(1)由题意知，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，
且f′(x)＝－2ax－1＝，
由题意得：f′(1)＝0，则－2a－2a－1＝0，得a＝－，
又当a＝－时，f′(x)＝＝，
当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0，
所以f(1)是函数f(x)的极大值，所以a＝－.
(2)要使f(x)在区间[－，－]上有单调递增区间，
即要求f′(x)>0在区间[－，－]上有解，
当－≤x≤－时，
f′(x)>0等价于2ax＋(2a＋1)>0.
①当a＝0时，不等式恒成立；
②当a>0时，得x>－，
此时只要－<－，
解得a>0；
③当a<0时，得x<－，
此时只要－>－，
解得－1<a<0.
综上所述，a∈(－1，＋∞)．