Question

已知函数f(x)＝x³－ax²＋4x(a＞0)有两个极值点x₁、x₂，且f(x)在区间(0，1)上有最大值，求证：a＞．

Answer 1

答案：
解析：

解：(x)=3x2－2ax＋4，∵x1、x2是方程(x)=0的两实根，∴x1＋x2=，x1x2=＞1． 　　∵a＞0，∴x1＞0，x2＞0．设x1＜x2，则当0＜x1＜1时，x2＞1，∴当0＜x＜x1时，(x)＞0，当x1＜x＜1时，(x)＜0， 　　∴f(x)在区间(0，1)上有最大值f(x1)(0)＞0，且(1)＜0，即3－2a＋4＜0，即a＞ 　　当x1≥1时，x2＞1，∴当0＜x＜1时，(x)＞0，∴f(x)在区间(0，1)上没有最大值，故a＞． 　　分析：(1)根据极值点与已知区间端点的位置，分类讨论导函数在区间上的符号；(2)确定最值点的位置；(3)把二次导函数的特征转化为关于a的 不等式． 　　点评：三次函数的导函数是二次函数，故可考虑利用导数把原函数的特征转化为二次函数的特征．