Question

16．在直角坐标平面内，直线l过点P（1，1），且倾斜角α=$\frac{π}{3}$．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设直线l与圆C交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，能求出圆C的直角坐标方程，由直线l过点P（1，1），且倾斜角α=$\frac{π}{3}$，能求出直线l的参数方程．
（2）求出直线的参数方程代入圆C方程x²+y²-4y=0，能求出|PA|•|PB|．

解答 解：（1）∵ρ=4sinθ，
∴ρ²=4ρsinθ，则x²+y²-4y=0，…（3分）
即圆C的直角坐标方程为x²+y²-4y=0．…（4分）
（2）∵直线l过点P（1，1），且倾斜角α=$\frac{π}{3}$，
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数）．…（6分）
将该方程代入圆C方程x²+y²-4y=0，
得${t}^{2}+（1-\sqrt{3}）t-2=0$，t₁t₂=-2．…（9分）
即|PA|•|PB|=|t₁t₂|=2．…（10分）

点评 本题考查圆的直角坐标方程的求法，考查两线段乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的合理运用．