Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），a₁=．
（1）求证：{}是等差数列；
（2）求a_n的表达式．

Answer 1

【答案】分析：（1）本题关键是将a_n=S_n-S_n-1代入化简，再根据等差数列的定义进行判定即可．
（2）先求出S_n，利用S_n求a_n，必须分类讨论a_n=，求解可得．
解答：（1）证明：∵-a_n=2S_nS_n-1，
∴-S_n+S_n-1=2S_nS_n-1（n≥2），S_n≠0（n=1，2，3）．
∴-=2．
又==2，∴{}是以2为首项，2为公差的等差数列．
（2）解：由（1），=2+（n-1）•2=2n，∴S_n=．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-=-〔或n≥2时，a_n=-2S_nS_n-1=-〕；
当n=1时，S₁=a₁=．
∴a_n=
点评：本题主要考查了等差数列的证明，以及已知S_n求a_n，注意分类讨论，属于基础题．