Question

已知向量a=（cosx+2sinx，sinx），b=（cosx-sinx，2cosx），设函数f（x）=a•b．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的集合．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）=a•b的表达式，然后化简为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调性，求出函数f（x）的单调递增区间；
（II）结合（I）利用正弦函数的有界性，求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的集合．

解答：解：（I）由已知可得f（x）=（cosx+2sinx）（cosx-sinx）+2sinxcosx（1分）
=cos²x-sinxcosx+2sinxcosx-2sin²x+2sinxcosx=cos²x+3sinxcosx-2sin²x
=

1

2

(1+cos2x)+

3

2

sin2x+(cos2x-1)=

3

2

(sin2x+cos2x)-

1

2

=

3 2

2

sin(2x+

π

4

)-

1

2

（6分）
由2kπ-

π

2

＜2x+

π

4

＜2kπ+

π

2

得：kπ-

3π

8

＜x＜kπ+

π

8

（8分）
即函数f（x）的单调递增区间为(kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

)（k∈Z）．（9分）
（II）由（I）有f(x)=

3 2

2

sin(2x+

π

4

)-

1

2

，
∴f(x)max=

3 2 -1

2

．（10分）
所求x的集合为{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}．（12分）

点评：本题考查平面向量的数量积，三角函数的单调性，三角函数的最值，考查学生计算能力，是中档题．