题目内容
18．某品牌食品是经过A、B、C三道工序加工而成的，A、B、C工序的产品合格率分别为$\frac{3}{4}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{4}{5}$．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；恰有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场．（Ⅰ）生产一袋豆腐食品，求产品为废品的概率；
（Ⅱ）生产一袋豆腐食品，设X为三道加工工序中产品合格的工序数，求X的分布列．
分析 （Ⅰ）由已知条件，利用古典概型的概率计算公式能求出产品为废品的概率．
（Ⅱ）由题意得X=0，1，2，3，分别求出其相对应的概率，能求出X的分布列．
解答 解：（Ⅰ）产品为废品的概率为：P=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{5}+\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{5}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{5}+\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{4}{5}$=$\frac{1}{6}$ …（3分）
（Ⅱ）由题意可得由题意得X=0，1，2，3，-------------------------（4分）
P（X=0）=$（1-\frac{3}{4}）×（1-\frac{2}{3}）×（1-\frac{4}{5}）$=$\frac{1}{60}$
P（X=1）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{5}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{5}+\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{4}{5}$=$\frac{3}{20}$
P（X=3）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{4}{5}$=$\frac{2}{5}$
故P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）=$\frac{13}{30}$，…（8分）
X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{1}{60}$ | $\frac{3}{20}$ | $\frac{13}{30}$ | $\frac{2}{5}$ |
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．
练习册系列答案
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如图，平面内有三个向量$\overrightarrow{OA}，\;\overrightarrow{OB}，\;\overrightarrow{OC}$，其中$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为150°，$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角为90°，且$|{\overrightarrow{OA}}|=|{\overrightarrow{OB}}|=1$，$|{\overrightarrow{OC}}|=2$，若$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}\;（λ，μ∈R）$，则λ+μ=（ ）