题目内容

已知关于x的一元二次函数f（x）=ax²-4bx+1
（1）设集合P={-1，1，2，3，4，5}和Q={-2，-1，1，2，3，4，}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域 $数学公式$ 内的随机点，求函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数的概率．

解：（1）由题意可得a＞0，且 $\text{[math]}$ ≤1，所有的取法共有6×6=36 种．
当a=1 时，b 只能取-2，-1这两个值．当a=2 时，b 只能取-2，-1，1 这三个值．
当a=3 时，b 只能取-2，-1，1 这三个值．当a=4 时，b 只能取-2，-1，1，2 这四个值．
当a=5 时，b 只能取-2，-1，1，2 这四个值．
故满足函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数的取法有 2+3+3+4+4=16种，
故所求事件的概率为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故答案为： $\text{[math]}$ ．
（2）由条件可得，实验的所有结果构成的区域为Q={（a，b）| $\text{[math]}$ }，如图所示，
该区域为一个三角形区域，其面积等于S_△OMN= $\text{[math]}$ =32．
满足函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数的基本事件构成的区域为A={（a，b）| $\text{[math]}$ }，
由 $\text{[math]}$ 求得交点的坐标为P（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），故区域A的面积为 S_△POM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故所求的事件的概率为 P= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

分析：（1）分a=1，2，3，4，5 这五种情况来研究a＞0，且 $\text{[math]}$ ≤1的取法共有16种，而所有的取法共有6×6=36 种，从而求得所求事件的概率．
（2）由条件可得，实验的所有结果构成的区域Q 的面积等于S_△OMN= $\text{[math]}$ =32，满足条件的区域A的面积为
S_△POM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故所求的事件的概率为 P= $\text{[math]}$ ，运算求得结果．
点评：本题考查等可能事件的概率，二次函数的单调区间以及简单的线性规划问题，画出实验的所有结果构成的区域Q
和区域A 的图形，是解题的关键．