Question

点O为坐标原点，点F₁，F₂分别为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点，过点F₁的直线l交椭圆于A、B两点．若l倾斜角为

π

4

，则A、B两点到左准线的距离之和为

8

3

，右焦点到l的距离为

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）设焦距为2a，c＞0，由点（c，0）到y=-x-c距离为

2c

2

=

2

，得c=1．左准线x=-

a2

c

=-a2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+a2+x2+a2=

8

3

，由

y=-x-c b2x2+a2y2=a2b2

，得（a²+b²）x²+2a²cx+a²c²-a²b²=0，由此能求出椭圆的方程．
（2）设l：y=k（x+1），k≠0，由

y=k(x+1) x2+2y2=2

，得（2k²+1）x²+4k²x²+2k²-2=0，故x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

，△=8（k²+1）＞0，所以|AB|=

1+k2

|x1-x2|=2

2

•

k2+1

2k2+1

．点O到AB距离为d=

|k|

1+k2

，由此能求出△AOB面积的最大值．

解答：解：（1）设焦距为2a，c＞0，由点（c，0）到y=-x-c距离为

2c

2

=

2

，得c=1．
故左准线x=-

a2

c

=-a2，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+a2+x2+a2=

8

3

，
由

y=-x-c b2x2+a2y2=a2b2

，
得（a²+b²）x²+2a²cx+a²c²-a²b²=0，
∴x1+x2=-

2a2c

a2+b2

=-

2a2

2a2-1

，
∴2a2-

2a2

2a2-1

=

8

3

，
∴a²=2，
∴椭圆的方程为：

x2

2

+y2=1．
（2）设l：y=k（x+1），k≠0，
由

y=k(x+1) x2+2y2=2

，得（2k²+1）x²+4k²x²+2k²-2=0，
∵x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

，△=8（k²+1）＞0，
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|
=

1+k2

•

2 2 • k2+1

2k2+1

=2

2

•

k2+1

2k2+1

．
点O到AB距离为d=

|k|

1+k2

，
∵△AOB面积S=

1

2

|AB|•d=

2

•

|k| 1+k2

2k2+1

，
∴S＜

2

2

•

k2+(1+k2)

2k2+1

=

2

2

，
当l：x=-1时，S=

1

2

×

2

×1=

2

2

，
故在l：x=-1时△AOB面积的最大值为

2

2

．

点评：本题考查椭圆的方程的求法和求△AOB面积的最大值．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．