Question

（2011•徐州模拟）若关于x的方程x⁴+ax³+ax²+ax+1=0有实数根，则实数a的取值范围为

(-∞，-

2

3

]∪[2，+∞)

．

Answer 1

分析：关于x的方程x⁴+ax³+ax²+ax+1=0有实数根x≠0，两边除以x²，等价变形为二次方程后，然后利用分离变量法转化成值域问题即可解决．

解答：解：关于x的方程x⁴+ax³+ax²+ax+1=0有实数根x≠0，
两边除以x²，得x²+

1

x2

+a（x+

1

x

）+a=0，（1）
设y=x+

1

x

，则|y|=|x|+

1

|x|

≥2，
（1）变为 y²-2+ay+a=0，有根
分离变量得a=

2-y2

y+1

=

1

y+1

+1-y，
在y≥2，或y≤-2时，a是减函数，
当y=2时，a=-

2

3

；当y=-2时，a=2．
∴a≤-

2

3

，或a≥2．
则实数a的取值范围为 (-∞，-

2

3

]∪[2，+∞)．
故答案为：(-∞，-

2

3

]∪[2，+∞)．

点评：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了函数的性质、二次函数等基本知识，考查了函数与方程思想，属于中档题．