Question

设f(x)= x e-2+x2 ，g(x)= ex x ，对?x1，x2∈R+，有 f(x1) k ≤ g(x2) k+1 恒成立，

则正数的k取值范围（　　）

• A．（0，1）
• B．（0，+∞）
• C．[1，+∞）
• D．[

  1

  2e2-1

  ，+∞)

Answer 1

分析：当x₁＞0，x₂＞0时，

f(x1)

k

≤

g(x2)

k+1

恒成立，则只要

f(x1)

k

 max≤

g(x2)

k+1

 min即可，从而对函数f（x）利用基本不等式求解最大值，对函数g（x）利用导数判断单调性，进而求解函数g（x）的最小值，代入可求k的范围

解答：解：当x＞0时，由基本不等式可得，f（x）=

x

e-2+x2

=

1

x+ 1 e2x

≤

1

2 x• 1 e2x

=

e

2

∵g(x)=

ex

x

∴g′(x)=

(x -1)ex

x2

当x≥1时，g′（x）≥0；x＜1时g′（x）＜0
∴g（x）在（-∞，1）单调递减，在[1，+∞）单调递增
从而可得当x=1时函数g（x）有最小值e
当x₁＞0，x₂＞0时，

f(x1)

k

≤

g(x2)

k+1

恒成立，且k＞0
则只要

f(x1)

k

 max≤

g(x2)

k+1

 min即可
即

e

2k

≤

e

k+1

，解可得k≥1
故选：C

点评：本题主要考查了由函数的恒成立问题求解参数的取值范围的问题，解决问题的关键是转化为求解函数的最值，还要注意在本题中求解函数最值时用的两种方法：基本不等式及由导数判断函数的单调性，结合单调性质求最值．