Question

已知函数f （x）=e^x，g（x）=lnx，h（x）=kx+b．
（1）当b=0时，若对?x∈（0，+∞）均有f （x）≥h（x）≥g（x）成立，求实数k的取值范围；
（2）设h（x）的图象为函数f （x）和g（x）图象的公共切线，切点分别为（x₁，f （x₁））和（x₂，g（x₂）），其中x₁＞0．
①求证：x₁＞1＞x₂；
②若当x≥x₁时，关于x的不等式ax₂-x+xe^-x+1≤0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据对一切x∈（0，+∞），均有e^x≥kx≥lnx恒成立，也就是

ex

x

≥k≥

lnx

x

在x∈（0，+∞）恒成立，下面只要求出函数的最小（大）值，使得（

ex

x

）_min≥k≥(

lnx

x

)max即可．
（2）①由题知：h（x）即为y=e x1•x+e x1-x₁ e x1也为y=lnx₂=

1

x2

(x-x2)即y=

1

x2

x+lnx₂-1，根据两个函数为同一个函数进行比较，即可得到结果．
②要证不等式ax₂-x+xe^-x+1≤0恒成立，把问题进行等价变形，只要F（x）≤F（x₁）=ax₂-x₁+x₁e -x1+1≤0，令F（x）=ax₂-x+xe^-x+1（x≥x₁），利用导数研究其单调性，从而得出实数a的取值范围．

解答：解：（1）依题意对?x∈（0，+∞）均有e^x≥kx≥lnx成立
即对任意?x∈（0，+∞）均有

ex

x

≥k≥

lnx

x

成立…（1分）
∴（

ex

x

）_min≥k≥(

lnx

x

)max
因为（

ex

x

）=

ex(x-1)

x2

故y=

ex

x

在（0，1）上减，（1，+∞）增
∴（

ex

x

）_min=e
又(

lnx

x

)=

1-lnx

x2

故y=

lnx

x

在（0，e）上减，（e，+∞）增
∴(

lnx

x

)max=

1

e

即k的取值范围是[

1

e

，e]
（2）由题知：h（x）即为y-e x1=e x1（x-x₁）即y=e x1•x+e x1-x₁ e x1
也为y=lnx₂=

1

x2

(x-x2)即y=

1

x2

x+lnx₂-1
∴

ex1= 1 x2 ex1-x1ex1=lnx2-1

…（6分）
又x₁=0，∴e x1＞1  即

1

x2

＞1⇒x₁＞1
即x₁＞1＞x₂…（8分）
（3）令F（x）=ax₂-x+xe^-x+1（x≥x₁）
∴F′（x）=-1-xe^-x+e^-x=-1+e^-x（1-x）（ x≥x_1）
又x≥x₁＞1，F′（x）=-1-xe^-x+e^-x=-1+e^-x（1-x）＜0
即F（x）=ax₂-x+xe^-x+1（x≥x₁）单调减，
所以只要F（x）≤F（x₁）=ax₂-x₁+x₁e -x1+1≤0
即a+x₁-x₁e x1+e x1≤0…（12分）
由

ex1= 1 x2 ex1-x1ex1=lnx2-1

∴

x1=-lnx2 ex1-x1ex1=lnx2-1

即x1-x1ex1+ex1=-1
故只要a+x1-x1ex1+ex1=a-1≤0得：
a≤1
综上，实数a的取值范围是（-∞，1]…（14分）

点评：本题考查函数性质和导数的综合应用，本题解题的关键是利用导数方法求函数的最值，利用函数思想时也要用导数来求最值．