题目内容

求函数y= $数学公式$ 的最大值和最小值．

解：法一：去分母，原式化为
sinx-ycosx=2-2y，
即sin（x-φ）= $\text{[math]}$ ．
故 $\text{[math]}$ ≤1，解得 $\text{[math]}$ ≤y≤ $\text{[math]}$ ．
∴y_max= $\text{[math]}$ ，y_min= $\text{[math]}$ ．
法二：令x₁=cosx，y₁=sinx，有x₁²+y₁²=1．它表示单位圆，则所给函数y就是经过定点P（2，2）以及该圆上的动点M（cosx，sinx）的直线PM的斜率k，故只需求此直线的斜率k的最值即可．由 $\text{[math]}$ =1，得k= $\text{[math]}$ ．
∴y_max= $\text{[math]}$ ，y_min= $\text{[math]}$ ．
分析：法一：去分母，原式化为sinx-ycosx=2-2y，即sin（x-φ）= $\text{[math]}$ ，利用三角函数的有界性即可求解；
法二：令x₁=cosx，y₁=sinx，有x₁²+y₁²=1．它表示单位圆，则所给函数y就是经过定点P（2，2）以及该圆上的动点M（cosx，sinx）的直线PM的斜率k，故只需求此直线的斜率k的最值即可．
点评：本题考查了函数的值域，难度一般，关键是掌握数形结合的思想，数形结合法是高考中必考的数学思维方法，对此读者要有足够的重视．