Question

已知函数f（x）=x³+2x²-ax+1在区间（-1，1）上是单调函数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：函数f（x）=x³+2x²-ax+1在区间（-1，1）上是单调函数?f′（x）=3x²+4x-a≥0或f′（x）=3x²+4x-a≤0在（-1，1）恒成立?a≤3x²+4x或a≥3x²+4x在（-1，1）上恒成立，从而转化求函数g（x）=3x²+4x，在[-1，1]上的最值

解答：解：对函数求导可得，f′（x）=3x²+4x-a
函数f（x）=x³+2x²-ax+1在区间（-1，1）上是单调函数
f′（x）=3x²+4x-a≥0或f′（x）=3x²+4x-a≤0在（-1，1）恒成立
即a≤3x²+4x或a≥3x²+4x在（-1，1）上恒成立
令g（x）=3x²+4x，则g（x）在（-1，1）上的最小值为g(-

2

3

)=-

4

3

，而g（1）=7
∴a≤-

4

3

或a≥7
故答案为：a≤-

4

3

或a≥7

点评：本题主要考查了函数的单调性与函数导数的关系的应用，函数的恒成立问题的求解常会转化为求函数的最值，体现了构造函数与转化思想的应用．