Question

【题目】已知椭圆的一个焦点为，离心率为.点为圆上任意一点， 为坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线经过点且与椭圆相切， 与圆相交于另一点，点关于原点的对称点为，证明：直线与椭圆相切.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到， ，进而求得方程；（2）由点P的坐标写出直线PA，由相切关系得到，同理，由直线与椭圆也得到： ，再由，可化简得到.

解析：

（Ⅰ）解：由题意，知， ，

所以， ，

所以椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）证明：由题意，点在圆上，且线段为圆的直径，

所以.

当直线轴时，易得直线的方程为，

由题意，得直线的方程为，

显然直线与椭圆相切.

同理当直线轴时，直线也与椭圆相切.

当直线与轴既不平行也不垂直时，

设点，直线的斜率为，则，直线的斜率，

所以直线： ，直线： ，

由 消去，

得.

因为直线与椭圆相切，

所以，

整理，得（1）

同理，由直线与椭圆的方程联立，

得.（2）

因为点为圆上任意一点，

所以，即.

代入（1）式，得，

代入（2）式，得

.

所以此时直线与椭圆相切.

综上，直线与椭圆相切.