Question

如图，已知△AOB，∠AOB=，∠BAO=，AB=4，D为线段AB的中点。若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的，记二面角B-AO-C的大小为θ。
(1)当平面COD⊥平面AOB时，求θ的值；
(2)当θ∈[，]时，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范围．

Answer 1

解：(Ⅰ) 如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴， OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴， 建立空间直角坐标系O-xyz， 则A (0，0，2)，B (0，2，0)， D (0，1，)， C (2sinθ，2cosθ，0)， 设=(x，y，z)为平面COD的一个法向量， 由，得 取z=sinθ，则=(cosθ，-sinθ，sinθ)． 因为平面AOB的一个法向量为=(1，0，0)， 由平面COD⊥平面AOB，得·=0， 所以cosθ=0，即θ=．　　　　　　　　　 (Ⅱ) 设二面角C-OD-B的大小为α， 由(Ⅰ)得当θ=时，cosα=0；当θ∈(，]时，tanθ≤-， cosα===-， 故≤cosα＜0， 综上，二面角C-OD-B的余弦值的取值范围为[，0]．