Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且 S_n=n²-4n+4．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据a_n=S_n-S_n-1求通项公式，然后验证a₁=S₁=1，不符合上式，因此数列{a_n}是分段数列；
（2）先写出数列{b_n}的通项公式，应用错位相减法，求出T_n．
解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-4n+4-[（n-1）²-4（n-1）+4]=2n-5
∵a₁=1不适合上式，
∴
（2）证明：∵．
当n=1时，，
当n≥2时，，①．②
①-②得：=
得，
此式当n=1时也适合．
∴N^*）．
∵，
∴T_n＜1．
当n≥2时，，
∴T_n＜T_n+1（n≥2）．
∵，
∴T₂＜T₁．
故T_n≥T₂，即．
综上，．
点评：本题主要考查了数列通项公式以及数列的前n项和的求法，对于等差数列与等比数列乘积形式的数列，一般采取错位相减的方法求数列的前n项和，这种方法要熟练掌握．体现了分类讨论的数学思想方法，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．