Question

已知函数f（x）=x²+1nx．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x），求证：[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N⁺）．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=x+，
当x∈[1，e]时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在区间[1，e]上单调递增，
所以函数f（x）在区间[1，e]上的最大、最小值分别为f（1）、f（e），
因为f（1）=，f（e）=，
所以函数f（x）在区间[1，e]上的最大值为，最小值为；
（Ⅱ）当n=1时，不等式成立，
当n≥2时，[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）=
=
=，
由已知x＞0，所以：[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）≥．
分析：（Ⅰ）利用导数可判断f（x）区间[1，e]上的单调性，由单调性可得函数的最值；
（Ⅱ）当n=1时易证明；当n≥2时，对不等式左边运用二项式定理展开，再用基本不等式即可证明；
点评：本题考查导数求函数在闭区间上的最值、二项式定理、基本不等式等，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力．