题目内容

（2003•朝阳区一模）某加油站需要制造一个容积为20πm3的圆柱形储油罐，已知用来制作底面的铁板每平方米价格为40元，用来制作侧面的铁板每平方米价格为32元，若不计制作损耗．
（Ⅰ）问储油罐底面半径和高各为多少时，制作的储油罐的材料成本价最低？
（Ⅱ）若制作的储油罐底面铁板半径不能超过1.8m，那么储油罐底面半径的长为多少时，可使制作储油罐的材料成本价最低？
分析：（Ⅰ）设圆柱形储油罐的底面半径为x米，高为h米，由题意求出h的表达式，再求出材料成本价为y的表达式，根据基本不等式求出y的最小值，以及对应的x的值；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）知，当0＜x≤1.8时需要判断函数在（0，1.8]上的单调性，根据单调性的定义证明步骤：取值、作差、变形、定号、下结论，得到函数的单调性，再求出函数的最小值．
解答：解：（I）设圆柱形储油罐的底面半径为x米，高为h米，材料成本价为y元．
由题意得，πx2h=20π，则h=
20π
πx2
=
20
x2
．
∴y=2πx2•40+2πx•h•32…（2分）
=80π(x2+
16
x
)=80π(x2+
8
x
+
8
x
)…（4分）
≥80π•3•
3x2•
8
x
•
8
x
…（6分）=960π（元）．
当且仅当x2=
8
x
，即x=2，h=5时取等号．
答：当储油罐的底面半径为2米，高为5米，材料成本价最低．…（8分）
（II）解：由（Ⅰ）知，f(x)=80π(x2+
16
x
)当x=2时，y取最小值960π元，
当x不超过1.8米时，即0＜x≤1.8．
下面探讨函数f(x)=80π(x2+
16
x
)在（0，1.8]上的单调性．…（10分）
设0＜x1＜x2≤1.8，
f(x2)-f(x1)=80π(
x
2
2
+
16
x2
)-80π(
x
2
1
+
16
x1
)
=80π(x2-x1)
(x1+x2)x1x2-16
x1x2
…（12分）
∵0＜x1＜x2≤1.8＜2，
∴x2-x1＞0，
(x1+x2)x1x2-16
x1x2
＜0，
∴f（x2）-f（x1）＜0，f（x2）＜f（x1）．
则函数f(x)=80π(x2+
16
x
)在（0，1.8]上是减函数．
答：当储油罐底面铁板半径为1.8米，材料成本价最低．…（14分）
点评：本题考查了函数的实际应用，利用基本不等式求函数的最值，以及根据单调性的定义证明步骤：取值、作差、变形、定号、下结论，得到函数的单调性，再求出函数的最小值．
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