题目内容
已知四棱锥P—ABCD底面为正方形PA⊥面ABCD，AB=2.PC与平面ABCD成45°，E、F分别为PA，PB的中点.
（Ⅰ）求异面直线DE与AF所成角的余弦值；
（Ⅱ）在PC上求一点M，使AM⊥平面PBD.
解析:（Ⅰ）如图所示建立空间直角坐标系.
易求E（0，0，
），D(0,2,0)∴
=(0,2,
).
又F（1，0，
），∴
=（1，0，
），
∴cos＜
,
＞=
=-
.
∴异面直线DE与AF所成角的余弦值为
.
（Ⅱ）不妨证
=λ
，易求
=（0，2，-
），
=(-2,2.0),
=(-2,-2,
).
∴
=(-2λ,-2λ,
λ),又∵
=（-2,-2,0）,
∴
=
-
=（2-2λ，2-2λ，
λ）.
由
得
解之得λ=
.
即当
=
时，
⊥平面PBD.
练习册系列答案
相关题目
如图，已知四棱锥P--ABC的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e为PC的中点，F为AD的中点．
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．
已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E为BC中点，AE与BD交于O点，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是线段PC上一点，PC⊥平面BDE．