Question

已知函数f（x）=-x²+ax-lnx（a∈R）．
（1）当a=3时，求函数f（x）在上的最大值和最小值；
（2）当函数f（x）在单调时，求a的取值范围；
（3）求函数f（x）既有极大值又有极小值的充要条件．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a=3代入到f（x）中，求出导函数=0时x的值为1得到函数的最大值为f（1），然后判断f（）和f（2）谁小谁为最小值即可；
（2）求出f′（x）=a-（2x+），然后令g（x）=2x+，利用g′（x）讨论得到x∈时，g（x）的最大和最小值得到g（x）的值域，要使f（x）在单调，即要a大于最大值或a小于最小值即可得到a的范围；
（3））若f（x）既有极大值又有极小值，首先必须f'（x）=0有两个不同正根，即2x²-ax+1=0有两个不同正根，即可得到根的判别式大于0且两根之和大于0，求出a的范围得到必要性；然后证明充分性：由a的范围得到f'（x）=0有两个不等的正根，讨论导函数的正负即可得到函数既有极大值又有极小值．所以得到函数既有极大值又有极小值的充分必要条件．
解答：解：（1）a=3时，，
函数f（x）在区间仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点，
故函数在最大值是f（1）=2，
又，故，
故函数在上的最小值为f（2）=2-ln2．
（2），令，则，
则函数在递减，在递增，由，，，
故函数g（x）在的值域为．
若f'（x）≤0在恒成立，即在恒成立，只要，
若要f'（x）≥0在在恒成立，即在恒成立，
只要．即a的取值范围是．
（3）若f（x）既有极大值又有极小值，则首先必须f'（x）=0有两个不同正根x₁，x₂，即2x²-ax+1=0有两个不同正根．
故a应满足，
∴当时，f'（x）=0有两个不等的正根，不妨设x₁＜x₂，
由f'（x）==（x-x₁）（x-x₂）知：
0＜x＜x₁时f'（x）＜0；x₁＜x＜x₂时f'（x）＞0；x＞x₂时f'（x）＜0，
∴当时f（x）既有极大值f（x₂）又有极小值f（x₁）．
反之，当时，2x²-ax+1=0有两个不相等的正根，
故函数f（x）既有极大值又有极小值的充要条件．
点评：考查学生会利用导数求闭区间上函数的最值，会利用导数研究函数的单调性，掌握充分必要条件的证明方法．会求函数在某点取极值的条件．此题是一道中档题．