Question

【题目】如图，在各棱长均相等的三棱柱中，设是的中点，直线与棱的延长线交于点.

（1）求证:直线平面；

（2）若底面，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接交于点，连接，由中位线定理可得，即可由线面平行的判定定理证明平面；

（2）设的中点为，连接，可证明，则以A为原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，求得平面和平面的法向量，由空间向量数量积定义可求得两个平面夹角的余弦值，结合同角三角函数关系式即可求得二面角的正弦值.

（1）证明：连接交于点，连接，如下图所示：

∵且，

∴.

由已知条件得，

∴.

又∵平面，且平面，

∴直线平面.

（2）设的中点为，连接，

由已知得.

又∵且，

∴.

结合，得.

故.

由题意以A为原点，建立空间直角坐标系，如下图所示：

设，则，，，.

∴，，.

由，得平面的一个法向量为，

由，得平面的一个法向量为.

于是.

由同角三角函数关系式可知

故二面角的正弦值为.