Question

过点P（a，b）作两条直线l₁，l₂，斜率分别为1，-1，已知l₁与圆O1：(x+2)2+(y-2)2=2交于不同的两点A，B，l₂与圆O2：(x-3)2+(y-4)2=2交于不同的两点C，D，且|AB|=|CD|．
（Ⅰ）求：a，b所满足的约束条件；
（Ⅱ）求：

a2-b2

a2+b2

的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据题意，直线l₁、l₂方程为x-y-a+b=0、x+y-a-b=0．由两圆半径相等且|AB|=|CD|，得到两圆圆心O₁、O₂到直线l₁、l₂的距离相等，根据点到直线的距离公式建立关于a、b的等式，化简即得a、b所满足的约束条件；
（II）根据直线的斜率公式，得k=

b

a

表示点P与原点连线的斜率，所以

a2-b2

a2+b2

=-1+

2

1+k2

，由（I）的结论得到k²∈（

121

49

，+∞），代入即可得到

a2-b2

a2+b2

∈（-1，-

36

85

）．最后根据a=0时

a2-b2

a2+b2

=-1，即得

a2-b2

a2+b2

的取值范围是[-1，-

36

85

)．

解答：解：（1）∵圆O1：(x+2)2+(y-2)2=2和圆O2：(x-3)2+(y-4)2=2的
圆心分别为O₁（-2，2）、O₂（3，4），半径都等于

2

∴当且仅当O₁、O₂到直线l₁、l₂的距离相等时，|AB|=|CD|．
设直线l₁方程为x-y-a+b=0，直线l₂方程为x+y-a-b=0
可得

|-2-2-a+b|

2

=

|3+4-a-b|

2

，即|a-b+4|=|a+b-7|
化简得a-b+4=a+b-7或a-b+4=-（a+b-7）
即b=

11

2

或a=

3

2

∵直线l₁、l₂分别与圆O₁、O₂相交，可得

|-2-2-a+b|

2

＜

2

且

|3+4-a-b|

2

＜

2

，即|a-b+4|＜2且|a+b-7|＜2
∴当b=

11

2

时，-

1

2

＜a＜

7

2

； 当a=

3

2

时，

7

2

＜b＜

15

2

可得a、b所满足的约束条件为：b=

11

2

（-

1

2

＜a＜

7

2

），a=

3

2

（

7

2

＜b＜

15

2

）
（II）设k=

b

a

表示点P与原点连线的斜率，
可得当b=

11

2

，-

1

2

＜a＜

7

2

时，k∈（-∞，-11）∪（

11

7

，+∞）；
当a=

3

2

，

7

2

＜b＜

15

2

时，k∈（

7

3

，5）
∴k²∈（

121

49

，+∞）
∵

a2-b2

a2+b2

=

1-k2

1+k2

=-1+

2

1+k2

，∴

a2-b2

a2+b2

∈（-1，-

36

85

）
结合当a=0，b=

11

2

时，

a2-b2

a2+b2

=-1，得

a2-b2

a2+b2

的取值范围是[-1，-

36

85

)．

点评：本题给出经过点P的两条垂直直线被两圆截得的弦长相等，求点P坐标满足的约束条件，并依此求一个式子的值域．着重考查了直线与圆的位置关系、斜率公式和函数值域的求法等知识，属于中档题．