Question

在△ABC中，已知sin（

π

2

+B）=

2 5

5

．
（1）求tan2B的值；
（2）若cosA=

3 10

10

，c=10，求△ABC的面积；
（3）若函数f（x）=

4cos4x-2cos2x-1

cos2x

，求f（C）+sin2C的值．

Answer 1

分析：（1）利用诱导公式化简已知的等式左边，得到cosB的值，再由B为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，进而求出tanB的值，利用二倍角的正切函数公式化简tan2B后，将tanB的值代入即可求出tan2B的值；
（2）由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再利用诱导公式得到sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（A+B）后将各自的值代入求出sinC的值，再由c及sinB的值，利用正弦定理求出b的长，最后由b，c及sinA的值，即可求出三角形ABC的面积；
（3）将函数f（x）解析式的分子第一、三项结合，利用平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简，分子各项都除以分母，化简合并后，再利用二倍角的余弦函数公式化简，得到最简结果，然后将x=C代入函数解析式得到f（C），代入所求式子中，提取

2

，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由第二问求出的a，b及c的值，利用余弦定理求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，进而求出这个角的度数，利用特殊角的三角函数值即可求出所求式子的值．

解答：解：（1）∵sin（

π

2

+B）=cosB=

2 5

5

，
又B为三角形的内角，
∴sinB=

1-cos2B

=

5

5

，
∴tanB=

sinB

cosB

=

1

2

，
则tan2B=

2tanB

1-tan2B

=

2× 1 2

1- 1 4

=

4

3

；
（2）∵cosA=

3 10

10

，A为三角形的内角，
∴sinA=

1-cos2A

=

10

10

，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

10

10

×

2 5

5

+

3 10

10

×

5

5

=

2

2

，
又c=10，
∴

c

sinC

=

b

sinB

=

a

sinA

，即b=

csinB

sinC

=2

10

，a=

csinA

sinC

=2

5

，
则△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

×2

10

×10×

10

10

=10；
（3）∵f（x）=

4cos4x-2cos2x-1

cos2x

=

(4cos4x-1)-2cos2x

cos2x

=

cos2x(2cos2x+1)-2cos2x

cos2x

=2cos²x+1-2=2cos²x-1=cos2x，
∴f（C）=cos2C，
又a=2

5

，b=2

10

，c=10，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

20+40-100

2×2 5 ×2 10

=-

2

2

，
又C为三角形的内角，∴C=

3π

4

，
则f（C）+sin2C=cos2C+sin2C=

2

sin（2C+

π

4

）=

2

sin

7π

4

=-1．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，二倍角的正切、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．