Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

Answer 1

分析：（1）对函数求导，根据导函数与0的关系写出函数的单调性和区间，讨论所给的区间和求出的单调区间之间的关系，在不同条件下做出函数的最值．
（2）根据两个函数的不等关系恒成立，先求出两个函数的最值，利用最值思想解决，主要看两个函数的最大值和最小值之间的关系，得到结果．
（3）要证明不等式成立，问题等价于证明xlnx＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，构造新函数，得到结论．

解答：解：（1）f'（x）=lnx+1，当x∈(0，

1

e

)，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈(

1

e

，+∞)，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
①0＜t＜t+2＜

1

e

，t无解；
②0＜t＜

1

e

＜t+2，即0＜t＜

1

e

时，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；
③

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt；
∴f(x)min=

- 1 e ，0＜t＜ 1 e tlnt，t≥ 1 e

．
（2）2xlnx≥-x²+ax-3，则a≤2lnx+x+

3

x

，
设h(x)=2lnx+x+

3

x

(x＞0)，则h′(x)=

(x+3)(x-1)

x2

，
x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）_min=h（1）=4
因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）_min=4；
（3）问题等价于证明xlnx＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，
由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，当且仅当x=

1

e

时取到
设m(x)=

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，则m′(x)=

1-x

ex

，易得m(x)max=m(1)=-

1

e

，
当且仅当x=1时取到，从而对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

点评：不同考查利用导数研究函数的最值，利用最值解决函数的恒成立思想，不同解题的关键是构造新函数，利用新函数的性质解决问题．