题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ 的离心率 $数学公式$ ，且右焦点F到左准线的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）又已知点A为抛物线y²=2px（p＞0）上一点，直线FA与椭圆C的交点B在y轴的左侧，且满足 $数学公式$ ，求p的最大值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．①
而右焦点到左准线的距离d= $\text{[math]}$ ．②
由①②解得a= $\text{[math]}$ ，c=1，从而b=1．
从而所求椭圆方程为 $\text{[math]}$ （6分）
（2）椭圆的右焦点为F（1，0），点B在椭圆 $\text{[math]}$ （x＜0）上．
设B（x₀，y₀），其中 $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
由点A在抛物线y²=2px上，得 $\text{[math]}$ ．
又 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．令t=x₀+2，则 $\text{[math]}$ ．
即 $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （当且仅当 $\text{[math]}$ 时取“=”）．
∴ $\text{[math]}$ ．
又当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为椭圆在y轴左侧上的点．
故p的最大值为 $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（1）首先由离心率得出 $\text{[math]}$ ，然后根据右焦点到左准线的距离d= $\text{[math]}$ ，就可以求出椭圆方程；
（2）先设B点坐标，然后根据 $\text{[math]}$ ，表示出A点坐标，并代入抛物线方程得出 $\text{[math]}$ ，再令t=x₀+2，用的含p式子表示p，
点评：本题考查了椭圆的简单性质以及椭圆与抛物线的综合，巧用a+b≥2 $\text{[math]}$ 是解决（2）问的关键，属于中档题．