题目内容

已知函数f（x）=2ax+ $数学公式$ +lnx．
（1）若函数f（x）在x=1，x= $数学公式$ 处取得极值，求a，b的值；
（2）若f′（1）=2，函数f（x）在（0，+∞）上，f（x）是单调函数，求a的取值范围．

解：（1）求导函数 $\text{[math]}$ ，（2分）
∵函数f（x）在x=1，x= $\text{[math]}$ 处取得极值，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．（4分）
（2）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
因为f'（1）=2，所以b=2a-1．（5分）
所以 $\text{[math]}$ （7分）
要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要f'（x）≥0或f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．
当a=0时， $\text{[math]}$ 恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是单调函数；（9分）
当a＜0时，令f'（x）=0，得x₁=-1， $\text{[math]}$ ，
此时f（x）在（0，+∞）上不是单调函数；（10分）
当a＞0时，要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要1-2a≥0，即 $\text{[math]}$
综上所述，a的取值范围是 $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（1）求导函数，根据函数f（x）在x=1，x= $\text{[math]}$ 处取得极值，建立方程组，即可求a，b的值；
（2）函数f（x）的定义域是（0，+∞），由f'（1）=2，可得b=2a-1，求导函数，要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要f'（x）≥0或f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，由此可得a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．