Question

如图，棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是B₁C₁、C₁D₁的中点，
（1）求证：E、F、B、D四点共面；
（2）求四边形EFDB的面积．

Answer 1

（1）证明：如答图所示，连接B₁D₁，
在△C₁B₁D₁中，C₁E=EB₁，C₁F=FD₁，
∴EF∥B₁D₁，且EF=

1

2

B₁D₁，
又A₁A

∥

.

B₁B，A₁A

∥

.

D₁D，∴B₁B

∥

.

D₁D，
∴四边形BB₁D₁D是平行四边形．
∴B₁D₁∥BD，EF∥BD，
∴E、F、D、B四点共面
（2）由AB=a，知BD=B₁D₁=

2

a，EF=

2

2

a，
DF=BE=

B B 21 +B1E2

=

a2+( a 2 )2

=

5

2

a，
过F作FH⊥DB于H，则DH=

DB-EF

2

=

2

4

a
∴FH=

DF2-DH2

=

5 4 a2- 2 16 a2

=

18 16 a2

=

3 2

4

a
四边形的面积为SEFBD=

1

2

(EF+BD)×FH=

1

2

(

2

2

a+

2

a)×

3 2

4

a=

1

2

×

3 2

2

×

3 2

4

a2=

9

8

a2