Question

现有一块棱长为a的正方体形的木料，如图，M、N、P分别为AD、CD、BB₁的中点．现要沿过M、N、P三点的平面将木料锯开．
（1）求作锯面与平面AA₁C₁C的交线GH，其中G、H分别在C₁C、AA₁上（写出作图过程即可，不必证明），并说明GH与平面ABCD的关系，然后给出证明．
（2）若Q为C₁D₁的中点．求点P到平面MNQ的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）设MN与BC的延长线相交于点F，连PF与CC₁相交于点G，设NM与BA的延长线相交于点E，连PE与AA₁相交于点H，连GH，
直线GH即为平面MNP与平面AA₁C₁C的交线，欲证GH∥平面ABCD，根据比例关系可知GH∥EF又GH?平面ABCD，EF?平面ABCD，满足线面平行的判定定理所需条件；
（2）先证明BB₁∥平面MNQ，得到点P到平面MNQ的距离等于点B到平面MNQ的距离，设BD∩MN=T，根据面面垂直的性质可知BT⊥平面MNQ，从而点P到平面MNQ的距离为BT=．
解答：解：（1）设MN与BC的延长线相交于点F，连PF与CC₁相交于点G，设NM与BA的延长线相交于点E，连PE与AA₁相交于点H，连GH，
直线GH即为平面MNP与平面AA₁C₁C的交线，（2分）
GH∥平面ABCD，下面给出证明．（3分）
∵CG∥BP∴FG：GP=FC：CB
同理可证EH：HP=EA：AB
∵AC∥EF∴FC：CB=EA：AB
∴FG：GP=EH：HP
∴GH∥EF又GH?平面ABCD，EF?平面ABCD
∴GH∥平面ABCD（6分）
（2）∵BB₁∥QN，BB₁?平面MNQ，NQ⊆平面MNQ，
∴BB₁∥平面MNQ，（7分）
∴点P到平面MNQ的距离等于点B到平面MNQ的距离．（9分）
设BD∩MN=T．∵平面MNQ⊥平面ABCD，∴由BT⊥MN得BT⊥平面MNQ，（10分）
∴点P到平面MNQ的距离为BT=．（12分）
点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及点到平面的距离的求解，同时考查了作图的能力、分析问题解决问题的能力，转化与划归的思想，属于中档题．