题目内容

平面内给定三个向量 $数学公式$ =（3，2）， $数学公式$ =（-1，2）， $数学公式$ =（4，1）．
（1）求向量3 $数学公式$ + $数学公式$ -2 $数学公式$ 的坐标；
（2）若（ $数学公式$ +k $数学公式$ ）∥（2 $数学公式$ - $数学公式$ ），求实数k的值；
（3）设 $数学公式$ =（t，0），且（ $数学公式$ + $数学公式$ ）⊥（ $数学公式$ - $数学公式$ ），求 $数学公式$ ．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ =（3，2）， $\text{[math]}$ =（-1，2）， $\text{[math]}$ =（4，1）．
∴3 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ =3×（3，2）+（-1，2）-2×（4，1）=（9，6）+（-1，2）-（8，2）=（0，6）．…（3分）
（2） $\text{[math]}$ +k $\text{[math]}$ =（3+4k，2+k），2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =（-5，2）．…（6分）
因为（ $\text{[math]}$ +k $\text{[math]}$ ）∥（2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），所以2（3+4k）-（-5）（2+k）=0，解得 $\text{[math]}$ ．…（9分）
（3） $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（2，4）， $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =（t-4，-1）．…（12分）
因为（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）⊥（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），所以2×（t-4）+4×（-1）=0，解得t=6．…（15分）
故d=（6，0）．…（16分）
分析：（1）本题考查向量坐标的线性运算，代入坐标求解3 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ 的坐标；
（2）本题考查向量共线的坐标表示，先求出向量 $\text{[math]}$ +k $\text{[math]}$ 与向量2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 的坐标，再由向量坐标表示的条件建立方程求k的值；
（3）本题考查向量垂直的坐标表示，宜先求出 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 坐标，其中 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 坐标用参数t表示出来，再由两向量垂直，其数量积为0建立方程求出t的值，即可得到向量 $\text{[math]}$ 的坐标
点评：本题考查平面向量的综合题，考查了向量的坐标运算、向量共线的坐标表示及向量垂直的坐标表示，解题的关键是熟练掌握向量坐标表示的运算规则及向量平行、垂直的条件，本题属于向量基础知识灵活应用题，属于向量中考查知识点多综合性较强的题，