Question

在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱长为，E、F分别是AB₁、CB₁的中点，求证：平面D₁EF⊥平面AB₁C.

Answer 1

证明：如图，∵E、F分别是AB₁、CB₁的中点，

    ∴EF∥AC.

    ∵AB₁=CB₁,O为AC的中点，

    ∴B₁O⊥AC.

    故B₁O⊥EF.

    在Rt△B₁BO中，∵BB₁=，BO=1，

    ∴∠BB₁O=30°.从而∠OB₁D₁=60°，又B₁D₁=2，B₁O₁=OB₁=1(O₁为BO与EF的交点),

    ∴△D₁B₁O₁是直角三角形，即B₁O⊥D₁O₁.

    ∴B₁O⊥平面D₁EF.又B₁O平面ACB₁，

    ∴平面D₁EF⊥平面AB₁C.