Question

已知函数f（x）=x|x²-3|，x∈[0，m]，其中m∈R，且m＞0
（1）若m＜1，求证：函数f（x）是增函数；
（2）如果函数f（x）的值域是[0，2]，试求m的取值范围．
（3）如果函数f（x）的值域是[0，λm²]，试求实数λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据m的范围可确定x的范围，从而可以去掉函数内的绝对值符号，然后利用导数可证明增函数．
（2）先构造一个函数g（x），即没有参数m限制的函数f（x），分段取绝对值符号变成分段函数，然后分别在各段内用导数判断导数的单调性，从而确定g（x）最值，从中确定满足条件的参数m的取值范围．
（3）根据第（2）问得出的参数m的取值范围，确定参数m的讨论点，通过各段内的最大值等于λm² 得出实数λ的取值范围，通过λ在各段的取值范围确定最小值．

解答：解：（1）∵m＜1，且x∈[0，m]
∴0≤x＜1，∴0≤x²＜1，∴x²-3＜0
此时，f（x）=-x（x²-3）=-x³+3x
∵f′（x）=-3x²+3
∵0≤x²＜1
∴-3＜-3x²≤0
∴f′（x）=-3x²+3＞0
故此时，函数f（x）是增函数
（2）令g（x）=x|x²-3|，x≥0
则g(x)=

3x-x3 ，0≤x≤ 3 x3-3x  ，x＞ 3

当0＜x＜

3

时，g′（x）=3-3x²=0 得x=1
所以g（x）在[0，1]上是增函数，在[1，

3

]上是减函数
当x＞

3

时，由g′（x）=3x²-3＞0，所以g（x）在[

3

，+∞）上是增函数
所以当x∈[0，

3

]时，函数g（x）的最大值是g（1）=2，最小值是g（0）=g（

3

）=0
从而0＜m＜1均不符合题意，1≤m≤

3

均符合题意
当m＞

3

，在x∈[0，

3

)时，f（x）∈[0，2]；x∈[

3

，m]时，f（x）∈[0，f（m）]
这时f（x）的值域是[0，2]的充要条件是f（m）≤2
即m³-3m≤2，（m-2）（m+1）²≤0，解得：

3

＜m≤2
综上所述，m的取值范围是[1，2]
（3）据（2）知，当0＜m＜1时，函数f（x）的最大值是f（m）=3m-m³
由题意可知，3m-m³=λm²，即λ=

3

m

-m，是减函数，故λ的取值范围是（2，+∞）
当1≤m≤2时，函数f（x）的最大值是f（1）=2
由题意可知，2=λm²，即λ=

2

m2

，是减函数，故λ的取值范围是[

1

2

，2]
当m＞2时，函数f（x）的最大值是f（m）=m³-3m
由题意可知，m³-3m=λm²，即λ=m-

3

m

，是增函数，故λ的取值范围是(

1

2

，+∞)
综上所述，λ的最小值是

1

2

，且此时m=2

点评：本题主要考查利用导数判断函数单调性，难点在对参数m的讨论点怎么确定，特别是第三问又出现了另外一个参数λ，使问题更加复杂．