题目内容

已知函数 $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（1）设x₀是方程f（x）=0的根，求g（x₀）的值；
（2）求函数h（x）=f（x）+g（x）的最小正周期和最大值．

解： $\text{[math]}$ =1+cos（2x+ $\text{[math]}$ ）
（1）∵f（x₀）=0即1+cos（2x₀+ $\text{[math]}$ ）=0，解得x₀=kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z）
∴g（x₀）=1+sin（2x₀+ $\text{[math]}$ ）=1+sin（2kπ+π）=1+sinπ=0；

（2）∵h（x）=f（x）+g（x）
=2+cos（2x+ $\text{[math]}$ ）+sin（2x+ $\text{[math]}$ ）
=2+ $\text{[math]}$ [ $\text{[math]}$ cos（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）]
=2+ $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）
∴T= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =π．当x=kπ+ $\text{[math]}$ 时，sin（2x+ $\text{[math]}$ ）=1，函数h（x）最大值为2+ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）要求g（x₀）的值，先要解出x₀，因为x₀是方程f（x）=0的根得到f（x₀）=0，代入求得x₀的值，代入到g（x）即可求出；
（2）求出h（x）的解析式，利用两角和的正弦函数公式的逆运算化简后，利用最小正周期的公式及求正弦函数的最值方法分别求出即可．
点评：此题是一道综合题，涉及了灵活运用两角和的正弦函数公式、二倍角的余弦函数公式及三角函数的周期和最值的求法等知识，要求学生掌握的知识比较多，注意知识间的综合运用．