Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线是l：2x-y+3=0．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，建立导数和切线之间的关系，求b，c的值；
（Ⅱ）利用f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f'（x）≥0恒成立，即可求a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²+bx+c，
∴f'（x）=3x²+2ax+b，
∵曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线是l：2x-y+3=0．
∴y=2x+3，即f（0）=c=3，
f'（0）=b=2，
即b=2，c=3；
（Ⅱ）∵b=2，c=3；
∴f（x）=x³+ax²+2x+3，
∴f'（x）=3x²+2ax+2，
∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f'（x）≥0恒成立，
①当a≥0时，f'（x）≥0恒成立，满足条件．
②当a＜0时，要使f'（x）≥0恒成立，
则△=4a²-4×3×2≤0，
即a²≤6，
∴-

6

≤a＜0，
综上①②得a≥-

6

．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，要求熟练掌握导数和函数性质之间的关系，考查学生的运算能力．