Question

设函数f(x)=(

1

2

)x，数列{a_n}满足a₁=f（0），f（a_n+1）=

1

f(-2n-an)

（n∈N^*），
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=f（a_n+1-1），S_n=

1

log 1 2 b1

+

1

log 1 2 b2

+…+

1

log 1 2 bn

求证：S_n＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（a_n+1）=

1

f(-2n-an)

可得数列递推式，利用累加法可求得a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得b_n，进而可得log

1

2

bn，利用裂项相消法可求得S_n，得到结论；

解答：解：（Ⅰ）a1=f(0)=1，f(an+1)=

1

f(-2n-an)

⇒(

1

2

)an+1=

1

22n+an

⇒an+1-an=2n，
∴n≥2时，a₂-a₁=2，a₃-a₂=4，a₄-a₃=6，…，a_n-a_n-1=2（n-1），
以上各式相加，得a_n-a₁=

(n-1)(2+2n-2)

2

=n（n-1），
∵a₁=1，∴a_n=n（n-1）+1，
又a₁=1适合上式，
∴a_n=n（n-1）+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn=f(an+1-1)=(

1

2

)n(n+1)，log

1

2

bn=n(n+1)，
∴S_n=

1

log 1 2 b1

+

1

log 1 2 b2

+…+

1

log 1 2 bn

=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1；

点评：本题考查数列的递推式、数列的函数特性及数列求和，属中档题，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．