Question

如图四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上，O为AC与BD的交点．

(1)求证：平面；

(2)当E为PB中点时，求证：OE∥平面PDA，OE∥平面PDC．

(3)当且E为PB的中点时，求AE与平面PBC所成的角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD， 　　∵， 　　∴PD⊥AC， 　　∴AC⊥平面PDB， 　　又平面AEC 　　∴平面． 　　(2)∵四边形ABCD是正方形，，在中，又 　　∥，又 　　∥平面PDA，同理可证∥平面PDC． 　　(3)∵，，又 　　所以，可以D为坐标原点建立如图的空间直角坐标系D－xyz．设AB＝1．则 　　D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，)， 　　从而，，， 　　设平面PBC的一个法向量为．由得 　　令z＝1，得．设AE与平面PBC所成的角，则 　　 　　与平面PBC所成的角的正弦值为．