Question

【题目】已知函数和，

（Ⅰ）设，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，为函数图象与函数图象的公共点，且在点处有公共切线，求点的坐标及实数的值．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2),.

【解析】分析：（Ⅰ）对函数求导，得，然后分，，分三种情况讨论单调区间。

（Ⅱ）设点，由公切线可知在处导数相等且函数值相等，得，所以设函数，由导数可求得.。

详解：（Ⅰ）,

（1）当时，

在时，，函数在上单调递增，

在时，，函数在单调递减；

在时，，函数在上单调递增

（2）当时，在时，，函数在上单调递增

（3）当时，在时，，函数在上单调递增，

在时，,函数在单调递减；

在时，，函数在上单调递增

综上：

当时，函数的单调递增区间是和；单调递减区间是

当时，函数的单调增区间是，

当时，函数的单调递增区间是和；单调递减区间是

（Ⅱ）设点，在点处有公切线，设切线斜率为

因，

所以，即

由是函数与函数图象的公共点，所以

，

化简可得

将代入，得

设函数

因为，，函数在单调递减，

因为，

所以在时只有一个零点

由

知方程在只有一个实数根

代入：，

所以，此时：.