Question

(本题满分12分)

已知椭圆的离心率为．斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，且当时，下焦点到直线的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围；

（3）试用表示的面积，并求面积的最大值．

Answer 1

   （1）依题意可得，，，可得．所以椭圆方程为．

           （2）设直线的方程为，

由可得．

设，则，．

可得．

设线段中点为，则点的坐标为，

由题意有，可得．可得，

又，所以．

（3）设椭圆上焦点为，

则.

，

由，可得．

所以．

又，

所以.

所以△的面积为（）．

设，

则．

可知在区间单调递增，在区间单调递减．

所以，当时，有最大值．

所以，当时，△的面积有最大值．