Question

求使不等式|x-4|+|x-3|＜a有解的a的取值范围.

Answer 1

解法一:将数轴分为(-∞,3),［3,4］,(4,+∞)三个区间.

当x＜3时,得(4-x)+(3-x)＜a,x＞有解条件为＜3,即a＞1;

当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)＜a,即a＞1;

当x＞4时,得(x-4)+(x-3)＜a,则x＜

有解条件为＞4.∴a＞1.

以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a＞1.

解法二:设数x、3、4在数轴上对应的点分别为P、A、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求|PA|+|PB|＜a成立.因为|AB|=1,故数轴上任一点到A、B距离之和大于(等于)1,即|x-4|+|x-3|≥1,故当a＞1时,|x-4|+|x-3|＜a有解.

另外,本题还可利用绝对值不等式性质求函数的最值方法处理:

∵|x-4|+|x-3|=|x-4|+|3-x|

≥|x-4+3-x|=1,

∴a的取值范围是a＞1.