题目内容
已知抛物线x2=8y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且| AF |
| FB |
过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（1）证明线段FM被x轴平分；
（2）计算
| FM |
| AB |
（3）求证：
| AM |
| BM |
分析：（1）设A(x1，
)，B(x2，
)，由曲线8y=x2上任意一点斜率为y'=
，由已知，A，B，F三点共线，设直线AB的方程为：y=kx+2与抛物线方程x2=8y联立消y，从而得解；
（2）先求得
和
，进而可求得
•
的结果为0，
（3）先求得∵
=(
，-2-
)，∵
=(
，-2-
)，从而可解．
| ||
| 8 |
| ||
| 8 |
| x |
| 4 |
（2）先求得
| FM |
| AB |
| FM |
| AB |
（3）先求得∵
| AM |
| x2-x1 |
| 2 |
| ||
| 8 |
| BM |
| x1-x2 |
| 2 |
| ||
| 8 |
解答：解：（1）设A(x1，
)，B(x2，
)，由曲线8y=x2上任意一点斜率为y'=
，
直线AM的方程为：y-
=
(x-x1)
直线BM的方程为：y-
=
(x-x2)
解方程组得x=
，y=
即M(
，
)
由已知，A，B，F三点共线，设直线AB的方程为：y=kx+2
与抛物线方程x2=8y联立消y可得：x2-8kx-16=0，∴x1+x2=8k，x1x2=-16
所以M点的纵坐标为-2，，所以线段FM中点的纵坐标为0
即线段FM被x轴平分．
（2）
=(4k，-4)，
=(x2-x1，
)，
∴
•
=4k(x2-x1)-
=(x2-x1)(4k-
)
由（1）x1+x2=8k，代入得
•
=0
（3）∵
=(
，-2-
)，∵
=(
，-2-
)，
∴
•
=
+4+
=-8+4+4=0
∴
⊥
| ||
| 8 |
| ||
| 8 |
| x |
| 4 |
直线AM的方程为：y-
| ||
| 8 |
| x1 |
| 4 |
直线BM的方程为：y-
| ||
| 8 |
| x2 |
| 4 |
解方程组得x=
| x1+x2 |
| 2 |
| x1x2 |
| 8 |
| x1+x2 |
| 2 |
| x1x2 |
| 8 |
由已知，A，B，F三点共线，设直线AB的方程为：y=kx+2
与抛物线方程x2=8y联立消y可得：x2-8kx-16=0，∴x1+x2=8k，x1x2=-16
所以M点的纵坐标为-2，，所以线段FM中点的纵坐标为0
即线段FM被x轴平分．
（2）
| FM |
| AB |
| ||||
| 8 |
∴
| FM |
| AB |
| ||||
| 2 |
| ||||
| 2 |
由（1）x1+x2=8k，代入得
| FM |
| AB |
（3）∵
| AM |
| x2-x1 |
| 2 |
| ||
| 8 |
| BM |
| x1-x2 |
| 2 |
| ||
| 8 |
∴
| AM |
| BM |
| x1x2 |
| 2 |
| ||||
| 64 |
∴
| AM |
| BM |
点评：本题主要考查了抛物线的应用．抛物线与直线的关系和抛物线的性质等都是近几年高考的热点，故应重点掌握．
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已知抛物线x2=8y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且
（λ＞0），
的值；
．
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．
，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M
的值；