Question

（2009•宁波模拟）已知抛物线x²=8y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且

AF

=λ

FB

(λ＞0)，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M
（1）证明线段FM被x轴平分；       
（2）计算

FM

•

AB

的值；
（3）求证|FM|²=|FA|•|FB|．

Answer 1

分析：（1）设A(x1，

x 2 1

8

)，B(x2，

x 2 2

8

)，由导数的几何意义可求直线AM的方程为：y-

x 2 1

8

=

x1

4

(x-x1)，直线BM的方程为：y-

x 2 2

8

=

x2

4

(x-x2)，解方程可求M，由已知A，B，F三点共线，设直线AB的方程为：y=kx+2，联立直线与抛物线方程，根据方程的根与系数关系可求线段FM中点的纵坐标O，可证
（2）由

FM

=(4k，-4)，

AB

=(x2-x1，

x 2 2 - x 2 1

8

)，利用向量的数量积，结合方程的根与系数的关系可求
（3）由向量的数量积的性质可知

AM

⊥

BM

，即AM⊥MB，而 MF⊥AB，在直角△MAB中，利用射影定理可证

解答：证明：（1）设A(x1，

x 2 1

8

)，B(x2，

x 2 2

8

)，由y=

x2

8

得y′=

x

4

直线AM的方程为：y-

x 2 1

8

=

x1

4

(x-x1)
直线BM的方程为：y-

x 2 2

8

=

x2

4

(x-x2)
解方程组得x=

x1+x2

2

，y=

x1x2

8

即M（

x1+x2

2

，

x1x2

8

）（3分） 
由已知

AF

=λ

FB

(λ＞0)可得A，A，B，F三点共线，设直线AB的方程为：y=kx+2
与抛物线方程x²=8y联立消y可得：x²-8kx-16=0
∴x₁+x₂=8k，x₁x₂=-16（5分）
∴

x1x2

8

=-2即M点的纵坐标为-2，
∵F（0，2）
所以线段FM中点的纵坐标O
即线段FM被x轴平分．                 （6分）
解（2）∵F（0，2），M（4k，-2），A(x1，

x 2 1

8

)，B(x2，

x 2 2

8

)，
∴

FM

=(4k，-4)，

AB

=(x2-x1，

x 2 2 - x 2 1

8

)
∴

FM

•

AB

=4k(x2-x1)-

(x2-x1)(x2+x1)

2

=(x2-x1)(4k-

x1+x2

2

)=0   （9分）
证明：(3)∵

AM

=(

x2-x1

2

，-2-

x 2 1

8

)  

BM

=(

x1-x2

2

，-2-

x 2 2

8

)
∵

AM

•

BM

=-

(x1-x2)2

4

+(2+

x 2 1

8

)(2+

x 2 2

8

)=

x1x2

2

+4+

x 2 1 x 2 2

64

=-8+4+4=0（13分）
∴

AM

⊥

BM

，而 MF⊥AB所以在直角△MAB中，
由影射定理即得|FM|²=|FA|•|FB|（15分）

点评：本题主要考查了直线与直线与抛物线的相交关系的应用，向量数量积的坐标表示的应用，直角三角形的射影定理的应用，属于知识的综合应用．