Question

已知数列{}是等比数列，且a₂=18，a₅=1215．
（I）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解（I）：由题意得：数列{}是等比数列，设该数列的公比为q，
则=•q³…2′
又a₂=18，a₅=1215，
∴q³=27，q=3…4′
∴=•q^n-2，
∴a_n=n•3ⁿ…6′
（Ⅱ）设S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，
则S_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，①
∴3S_n=3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹②…8′
①-②
-2S_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹…10′
=-n•3ⁿ⁺¹
=•3ⁿ⁺¹-，
∴S_n=…12′
分析：（Ⅰ）由数列{}是等比数列，设该数列的公比为q，则=•q³，又a₂=18，a₅=1215，可求得q=3，从而可求得a_n．
（Ⅱ）设S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，则S_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，利用错位相减法即可求得S_n的值．
点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的通项公式与错位相减法求和，求得a_n=n•3ⁿ是关键，属于中档题．