题目内容

已知函数f(t)满足对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(－2)=－2.

   （1）求f(1)的值;

   （2）证明：对一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t；

   （3）试求满足f(t)=t的整数t的个数，并说明理由.

（1）1（2）证明见解析（3）满足条件的整数只有t=1，


解析:

（1）为求f(1)的值，需令

令.

令.

   （2）令(※)

.

由,

,

于是对于一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t.

   （3）由※及（1）可知.

下面证明当整数.

(※)得

即……，

将诸不等式相加得

   .

综上，满足条件的整数只有t=1，.

练习册系列答案
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已知函数f(t)满足对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy＋1，且f(－2)＝－2，

(1)求f(1)的值．

(2)证明：对于一切大于1的正整数t，恒有f(t)＞t．

(3)试求满足f(t)＝t的整数t的个数，并说明理由．

已知函数f(x)满足f(x)＋(0)－e－x＝－1，函数g(x)＝－λlnf(x)＋sinx是区间[－1，1]上的减函数．

(1)当x≥0时，曲线y＝f(x)在点M(t，f(t))的切线与x轴、y轴围成的三角形面积为S(t)，求S(t)的最大值；

(2)若g(x)＜t2＋λt＋1在x∈[－1，1]时恒成立，求t的取值范围；

(3)设函数h(x)＝－lnf(x)－ln(x＋m)，常数m∈Z，且m＞1，试判定函数h(x)在区间[e－m－m，e2m－m]内的零点个数，并作出证明．

    已知函数f(x)满足对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+xy+1,且f（－2）=－2.

    （1）求f（1）的值;

    （2）证明:对一切大于1的正整数t，恒有f（t）>t;

    （3）试求满足f（t）=t的整数的个数，并说明理由.

 
已知函数f(t)对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3,f(1)=1.

(1)若t为正整数，试求f(t)的表达式.

(2)满足f(t)=t的所有整数t能否构成等差数列？若能构成等差数列，求出此数列；若不能构成等差数列，请说明理由.

(3)若t为自然数，且t≥4,f(t)≥mt2+(4m+1)t+3m恒成立，求m的最大值.

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