Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a＞0），设F（x）=f（x）+g（x），
（Ⅰ）求函数F（x）的单调区间；
（Ⅱ）若以函数y=F（x）（x∈（0，3]）图像上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；
（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数y=+m-1的图像与函数y=f（1+x²）的图像恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ），
∵a＞0，由，
∴F（x）在（a，+∞）上单调递增；
由，
∴F（x）在（0，a）上单调递减，
∴F（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+∞）；
（Ⅱ），
，
当时，取得最大值，
∴。
（Ⅲ）若的图象与的图象恰有四个不同的交点，
即有四个不同的根，
亦即有四个不同的根，
令，
则，
当x变化时，G′（x）、G（x）的变化情况如下表：

由表格知：，
又∵可知，
当时，y=G（x）与y=m恰有四个不同的交点；
∴当时，的图象与的图象恰有四个不同的交点。