Question

已知函数f（x）=alnx+x² （a为实常数），e为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最小值；
（2）若存在x∈[1，e]，使得不等式f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出导函数，通过对导函数为0的根与区间[1，e]的三种关系，判断出函数的单调性，求出函数的极值及端点值，从中选出最小值．
（2）列出不等式有解，分离出参数a，构造函数g（x），通过导数求出g（x）的最小值，令a≥g（x）最大值．

解答：解：（1）f′(x)=

2x2+a

x

(x＞0)，当[1，e]，2x²+a∈[a+2，a+2e²]．
①若a≥-2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=1时，f′（x）=0，故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]_min=f（1）=1．
②若-2e²＜a＜-2，当x=

-a 2

时，f′（x）=0；当1≤x＜

-a 2

时，f′（x）＜0，此时f（x）
是减函数；当

-a 2

＜x≤e时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f(x)]min=f(

-a 2

)=

a

2

ln(-

a

2

)-

a

2

．
③若a≤-2e²，f′（x）在[1，e]上非正（仅当a=-2e²，x=e时，f′（x）=0，故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]_min=f（e）=a+e²．
综上可知，[f(x)]min=

1(a≥-2) a 2 ln(- a 2 )- a 2 (-2e2＜a＜-2) a+e2(a≤-2e2)

（2）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x-lnx）≥x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
因而a≥

x2-2x

x-lnx

(x∈[1，e])
令g(x)=

x2-2x

x-lnx

(x∈[1，e])，又g′(x)=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所g（x）在[1，e]上为增函数，
故g（x）的最小值为g（1）=-1，所以a的取值范围是[-1，+∞）．

点评：求函数的最值，先通过导数求出函数的极值，再求出函数的两个端点值，选出函数的最值；解决函数有解问题，常分离参数转化为求函数的最值．