Question

已知A，B，C为△ABC的三个内角；a，b，c分别为对边，向量=（2cosC-1，-2），=（cosC，cosC+1），若⊥，且a+b=10，则△ABC周长的最小值为（ ）
A．10-5
B．10+5
C．10-2
D．10+2

Answer 1

【答案】分析：由=（2cosC-1，-2），=（cosC，cosC+1），⊥，知2cos²C-3cosC-2=0，求出cosC=-．再由a+b=10，得到a²+b²+2ab=100，，然后由余弦定理知c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²+ab．由此能够求出△ABC周长的最小值．
解答：解：∵=（2cosC-1，-2），=（cosC，cosC+1），
⊥，
∴2cos²C-cosC-2cosC-2=0，
即2cos²C-3cosC-2=0，
∴cosC=-，或cosC=2（舍）．
∵a+b=10，
∴，
∴c²=a²+b²-2abcosC
=a²+b²+ab
=100-ab
≥100-25
=75．
∴．
∴△ABC周长的最小值为10+5．
故选B．
点评：本题以数量积为载体，巧妙地把三角函数、余弦定理、均值定理融合在一起，体现了出题者的智慧，是一道好题．